等比数列通项公式

发布时间：2025-10-08 | 来源：互联网转载和整理

An+1/An=q,n为自然数

等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

等比数列

An+1/An=q,n为自然数.

通项公式

An=A1*q^（n－1）；

推广式

An=Am·q^(n－m)；

求和公式

Sn=nA1(q=1)

Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

性质

①若m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；

②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方.

对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比q；从靠前项a1到第n项an的总和，记为Tn。

那么，通项公式为(即a1乘以q的（n-1)次方，其推导为“连乘原理”的思想：a2=a1*q,

a3=a2*q,

a4=a3*q,

an=an-1*q,

将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下an，右边余下a1和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。

此外，当q=1时该数列的前n项和：Sn=nA1(q=1)

当q≠1时该数列前n项的和：Sn=[A1(1-q)^n]/(1-q)

等差数列

对于一个数列{an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定之差位公差，记为d；从靠前项a1到第n项an的总和，记为Sn。

那么，通项公式为An=A1*q^（n－1）

，其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

将以上n-1个式子相加，便会接连消去很多相关的项，最终等式左边余下an，而右边则余下a1和n-1个d,如此便得到上述通项公式。

此外，数列前n项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。

值得说明的是，，也即，前n项的和Sn除以n后，便得到一个以a1为首项，以d/2位公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn的数列问题迎刃而解。