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高等数学十大定理公式

发布时间：2025-10-07 | 来源：互联网转载和整理

高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。

1、有界性

|f(x)|≤K

2、最值定理

m≤f(x)≤M

3、介值定理

若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ

4、零点定理

若f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0

5、费马定理

设f(x)在x0处：1，可导2，取极值，则f′(x0)=0

6、罗尔定理

若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)，则∃ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0

7、拉格朗日中值定理

若f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，则∃ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)

8、柯西中值定理

若f(x)、g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g′(x)≠0，则

∃ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)

9、泰勒定理（泰勒公式）

n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\,x\xrightarrow{}x_0$

n阶带拉格朗日余项：条件为n+1阶可导

$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\,x\xrightarrow{}x_0$

10、积分中值定理（平均值定理）

若f(x)在[a,b]连续，则∃ξ∈(a,b)，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)