求罗尔定理的证明

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

罗尔定理的证明

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

若 M>

m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>

m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)