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卡当公式推导

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

卡当公式又称卡尔达诺公式或“卡尔丹公式，是一个用于求解三次方程的公式。

卡尔达诺几何意义上的证明是利用不断逼近方体的体积来实现的。所以在此处笔者将利用公式缺项处理，对该公式做一推导。由一元三次方程的完整式X3+a1X2+a2X+a3=0 (1)和缺项式X3+pX+q=0 (2)可知，欲将式 (1)转换为式 (2)，需令y=X－a1/3代入式 (1)，得（X－a1/3）3+a1（X－a1/3）2+…=0，化简后，其中含X2的项已经抵消，这样就将问题化为了式(2)的形式了。令X=u+v，于是将其代入式(2)中，则（u+v）3+p（u+v）+q=0 （3），化简易得（u3+v3）+q+（u+v）（3uv+p）=0（4）由于u、v是两个变数，而该处仅置一个方程，为通过u、v确定X则需设（u3+v3）+q=0（5）和（u+v）（3uv+p）=0（6），由此得u3+v3=-q，u3v3=-P3/27，依此做一元二次方程Z2+qZ－p3/27=0，则得u3=-q/2+（q2/4+p3/27）1/2，v3=-q/2－（q2/4+p3/27）1/2，则方程解应为X=[-q/2+（q2/4+p3/27）1/2]1/3+[-q/2－（q2/4+p3/27）1/2]1/3，因为方程根式还有虚数根存在，化简筛选既可得出三个根解。由方程式判别式D确定，D<0时，方程有三根；当D=0时，X1=2(-q/2)1/3，X2=X3=(q/2)1/3;当D>0,只有一实根，其余两根为共轭复数根。