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重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

冒泡~:最近在回顾一些以前学过的概率论和数理统计的知识发现这三个抽样分布经常出现，在参数估计和假设检验也会运用到，所以做一下整理。

【首先这三个抽样分布都是来自正态总体的常用的分布可以根据情况应用于显著性检测】

定义：

设X1,X2,......Xn相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量χ2=X1²+X2²+......+Xn²所服从的分布为自由度为n的χ2分布.

自由度：所包含的独立变量的个数（eg:χ2=X1²+X2² 自由度为2）

图和式子如下：

关于图像：

从分布图可以看出：图像分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈右偏态，随着参数n的增大，分布趋近于正态分布；随着自由度n的增大，向正无穷方向延伸（这是因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低（因为方差2n越来越大）。

更细致观察：

当n=1或者2时：卡方分布先高后低的平滑曲线，检验统计量等于较小值的概率远远大于较大值的概率，即观察频数有可能接近期望频数。

当n大于2时：卡方分布先低后高再低，其外形沿着正向扭曲

一些结论：

1.χ2分布具有可加性：若χ12~χ2(n),χ22~χ2(m)，且二者相互独立，则χ12+χ22~χ2(n+m)

2.卡方分布的期望E（χ2）=n，方差D(χ2)=2n。

应用：（补充ing）

卡方分布指出观察频数与期望频数之间差异显著性，和其他假设一样，这取决于显著性水平。

 1、显性水平α进行检验（常用的显著性水平0.05）

 2、检测标准：卡方分布检验是单尾检验且是右尾，右尾被作为拒绝域。于是通过查看检验统计量是否位于右尾的拒绝域以内，来判定期望分布得出结果的可能性。

 3、卡方概率表的使用：

卡方分布假设检验步骤：总是使用右尾

  1、确定要进行检验的假设（H0）及其备择假设H1.

  2、求出期望E和自由度n.

  3、确定用于做决策的拒绝域（右尾）.

  4、计算检验统计量.

  5、查看检验统计量是否在拒绝域内.

  6、做出决策.

ps:卡方分布检验其实就是假设检验的特殊形式。

定义：

t分布又叫student-t分布，常常用于根据小样本来估计呈正态分布且方差值为知的样本的均值。

（一个前提是：t分布的样本的总体必须符合正态分布。t分布一般用于小样本(样本量比较小)的情形。）

假设X服从标准正态分布即X~N(0,1)，Y服从自由度n的卡方分布即Y~χ2（n），且X与Y是相互独立的，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布成为自由的为n的t分布，记为Z~t(n).

期望E（T）=0，方差D(T)=n/(n-2),n>2

图和式子如下：

图像的特点：

1.图像整体以0为中心，左右对称的单峰分布；

2.t分布是一簇曲线，可发现其形态变化与n（即其自由度）大小有关。

自由度n越小，t分布曲线越低平；自由度n越大，t分布曲线越接近标准正态分布曲线，当自由度无限大时，t分布就成了正态分布

应用：

t检验

1.建立假设、确定检验水准α

H0：μ=μ0（零假设nullhypothesis）

H1：μ≠μ0（备择假设alternativehypothesis）

双侧检验检验水准：α=0.05

2.计算检验统计量

3.查相应界值表，确定P值，下结论。

(ps:t检验适用于两个变量均数间的差异检验)

期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)

图像：

F分布为非对称分布 有两个分位点

应用：方差的同质性检验

此检验参考资料：数据统计基础之F分布及其应用-振裕-CSDN博客

方差分析（ANOVA也称为变异数分析和F检验）

详细可参考：https://wenku.baidu.com/view/bcca13af7c1cfad6195fa779.html

finally~

今天也要假装元气满满的鸭!