复合函数怎么求导

发布时间：2025-10-06 | 来源：互联网转载和整理

复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数。在求复合函数的导数时，需要使用链式法则。链式法则是一种求导规则，它告诉我们如何对复合函数求导。链式法则的基本思想是将复合函数分解成两个简单的函数，然后对每个简单函数分别求导，再将它们乘起来。

具体来说，设函数y=f(u)和u=g(x)是复合函数y=f(g(x))的两个简单函数，其中u=g(x)是中间变量。则根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：

dy/dx = dy/du * du/dx

其中，dy/du表示f(u)对中间变量u的导数，du/dx表示g(x)对自变量x的导数。这个公式的意思是，复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。

例如，考虑函数y=sin(2x+1)，它是由两个函数组合而成的。靠前个函数是f(u)=sin(u)，第二个函数是u=g(x)=2x+1。因此，可以将y表示为：

y = f(g(x)) = sin(2x+1)

对y求导，根据链式法则有：

dy/dx = dy/du * du/dx

其中，dy/du=sin(u)的导数是cos(u)，du/dx=2的导数是2。因此，复合函数y=sin(2x+1)的导数为：

dy/dx = cos(2x+1) * 2 = 2cos(2x+1)

这个结果告诉我们，当自变量x变化时，函数y的变化率是2cos(2x+1)。这个变化率是由外层函数sin(u)和内层函数2x+1的导数共同决定的。

总之，求复合函数的导数时，需要使用链式法则，将复合函数分解成两个简单函数，然后对每个简单函数分别求导，再将它们乘起来。这个过程需要注意函数的求导规则和求导顺序，以保证结果的正确性。